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2007年9月20日 (木)

たけしのコマネチ大学数学科 第20回 - ラマヌジャン

「ラマヌジャン」 素晴らしい数学の天才の1人です。
インド人ですねぇ。
インドの数学の天才を紹介されるたびに、インドの脅威さが身に染みてきますよ。
日本人も頑張らねば!

問題です。
Koma20_1

10~50軒ってところに、問題のアヤフヤさを感じましたが、ちょっと計算してみたら解かりました。
件数が限定的だと問題は解けないんですね。

例題として、家が8件の時の場合を紹介していました。
Koma20_2
家が8件の場合は6件目が答えなんですね。
1~5を全部足すと 15
7+8は 15
よって答えは 6件目

以下、解説と回答です。

Koma20_3

例題では、1~8で計算した場合、6が答えとなる、と番組で示していた。
これをまず、以下のような式で考える。

前半の合計値は15で、その計算式は以下の様になる。
 X((X-1)/2)      ・・・ ①
 6×( 5/2 ) = 15
そして、出題の性質上、後半の合計数も前半と同じ数になる。

この問題において、全ての家の数の合計は、以下の式で求める事が出来る。
 ①×2+X        (前半+後半+X)
  ↓
 X((X-1)/2) ×2+X = X ^2  →(Xの2乗)
以上のことから、もし家が8件の場合のXの求め方(式)は、
 √(8件までの合計)
という事になる。
 √(9×4) = √36 = 6

 

以上のことから、全部の家の数字を足した数のルートが整数である場合、その整数が答えとなる。
時間は掛かるが、50軒の時、49軒の時、48軒の時、47軒の時・・・と計算してみるしか無さそうだ。
50軒の時
 51(50/2)=1275
 √1275=35.707142142714249989996999056836(ダメ)

49軒の時
 50(49/2)=1225
 √1225=35
あれ?? もう出ちゃった・・・。

って感じで、この問題の答えは49軒中の35軒目、「35」です。

検算してみますか。
1~34の合計は、
 35(34/2) = 595
36~49の合計は、
 50(49/2)-36(35/2) = 1225-630 = 595
OKです!正解!

 

今回の問題は、50軒程度でしたが、ラマヌジャンは1500軒の問題を数秒で解いてしまったらしいのです。
っ凄すぎ・・・。
ラマヌジャンは連分数というモノを用いたそうです。
聞いたこと無かった言葉ですが、番組で紹介されているのを見たら凄く興味がそそりました。
 √2={1,{2}}
という式で表す事が出来るらしいのです。
{1,{2}}を詳しく書くと以下の式、になるわけです。
 X=1+1/(1+X)
これを解くと
 X^2=2
 X=√2
・・・なんだか、ネット上の文章エディットじゃ説明しづらいですけどね。
詳しくは別のところで詳しく調べてください。
凄く面白そうです。

ラマヌジャンはこのルート2の連分数に出てくる数値の一部がこの問題の解き方として、天才的な頭脳でピーンときて一瞬で解いてしまったらしいんです。
よくわからない世界ですよ・・・。もう。

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